消費税問題（栄東中学 東大Ⅰ・2020年）

次の問題の□にあてはまる数を答えなさい。

消費税は買った商品の代金に消費税率をかけて、小数点以下を切り捨てた金額を代金に追加して支払う制度です。たとえば、消費税率が10%で1000円の商品を買ったとき、1000×0.1＝100になるので、100円を代金の1000円に加えて1100円支払うことになります。また、消費税が10%で999円の商品を買ったとき、999×0.1＝99.9ですが、小数点以下を切り捨てると99になるので、99円を代金の999円に加えて1098円を支払うことになります。これらのことから、消費税を加えた金額が1099円になることはありえないということがわかります。

（１）消費税率が10%のとき、消費税を加えた金額としてありえない金額をもっとも小さいものから順に４つ求めなさい。
（２）消費税率が８%のとき、消費税を加えた金額としてありえない金額をもっとも小さいものから順に４つ求めなさい。
（３）令和元年10月に消費税率が８%から10%に上がりました。この消費税率が変わる前と後のどちらの場合でも消費税を加えた金額としてありえない金額をもっとも小さいものから順に４つ求めなさい。

栄東中学・東大Ⅰ（2020年）

2020年の時事問題の１つである消費増税。
首都圏でも栄東中学（東大特進クラスⅠ）にて消費増税関連の問題が出されました。2014年４月１日に税率が５%→８%に引き上げられた際、2015年入試では様々な学校で消費税問題の出題がありました。事前に対策をとっておくべき問題でしょう。

本日は、同問題の解説記事をアップします。2020年度受験生は直前対策として、お子さんに一読させてみてください。

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解説

消費税問題は、まず端数の取り扱いを確認しておきましょう。
今回の消費税問題は、「商品の代金に消費税率をかけて、１円未満が出たら切り捨て」となります。

（１）消費税10%の時のあり得ない金額

消費税率が10%のときのお金の動きを表にしてみましょう。
消費税が１円となるのは、１円÷0.1＝10円（税抜）
同様に、消費税が２円となるのは、２円÷0.1＝20円（税抜）
このように、税抜金額が10円上がるごとに消費税が１円上がることが分かります。

表にすると以下の通りとなります。

K

税込金額としてあり得ない金額を見てみると、10円を先頭に21円、32円、43円と11円ずつ増えているね。

A.10円、21円、32円、43円

（２）消費税８%の時のあり得ない金額

税率が10%から８%になっただけ（数値替え）ですので、税率10%と同様に表にまとめていきましょう。
消費税が１円となるのは、１円÷0.08＝12.5円（税抜）
消費税が２円となるのは、２円÷0.08＝25円（税抜）
消費税が３円となるのは、３円÷0.08＝37.5円（税抜）
消費税が４円となるのは、４円÷0.08＝50円（税抜）

このように、税抜金額が12.5円上がるごとに消費税が１円上がることが分かります。
ただし、商品本体の金額（税抜金額）は整数ですので、税抜金額、消費税額、税込金額の表は以下の通りになります。

A.13円、26円、40円、53円

K

問題文をしっかりと読み、内容を理解すれば、ただの割合と規則性の問題。見たことがないからという理由で難しく感じるのは気のせい！まずはトライしてみよう！

（３）消費税８%でも10%でもあり得ない金額

最後に８%でも10%でも税込金額としてあり得ない金額です。(１)(２)で出したあり得ない金額をそれぞれ数列にして、規則がないか考えていきましょう。

10%：10、21、32、43、54、…
10%の時は先頭10で11ずつ増えていく数列となります。
つまり、11×〇＋10の形に表すことが出来ます。※〇は0も可

８%：13、26、40、53、67、…
８%の時は先頭13で、次から13、14、13、14、…と交互に増えていく数列となります。

増え方が14、13と異なっているので、２つの数列に分解して考えると、
・13、40、67、94、…
・26、53、80、107、…となり、
それぞれ27×〇＋13、27×〇＋26と表すことが出来ます。※〇は0も可

あとは８%でも10%でも税込金額としてあり得ない金額を考えるために、まずは11×〇＋10（11で割ると10余る数）と、27×□＋13（27で割ると13余る数）の両方を満たす数を考えます。

「余り」も「割る数と余りの差」も同じではないので、１個目は地道に見つけます。
27×□＋13を満たす数を書き進めると共に、その数が11×〇＋10を満たすのかを調べていきます。すると、５個目の175が11×〇＋10、27×□＋13のいずれも満たす最初の数と分かります。
最初の数を見つけたら、後は11と27の最小公倍数297ずつ増えていくので、
175、472、769、…　と続いていきます。

次に、11×〇＋10（11で割ると10余る数）と27×□＋26（27で割ると26余る数）の規則性を考えます。
こちらは「割る数と余りの差」が同じので、最初の数は「最小公倍数－差」となります。
よって、最初の数は297－1の296で、
296、593、890、…　と続いていきます。

よって、消費税率が変わる前と後のどちらの場合でも消費税を加えた金額としてありえない金額は、小さい方から175、296、472、593となる。

A.175円、296円、472円、593円

K

税込金額としてあり得ない金額はもはや典型題の１つですので、きっちり対策してから受験に臨みましょう！