場合の数｜色ぬり問題（栄東中学 2020年）

2021年7月26日2022年6月15日

図のように色がぬられていない５つの輪が並んでいます。この輪の線に色をぬるとき、次の問いに答えなさい。ただし，線が重なる輪には同じ色をぬれないものとします。
(１) 青，黄，黒，緑，赤の５色をすべて使って色をぬる方法は何通りありますか。
(２) 青，黄，緑，赤の４色をすべて使って色をぬる方法は何通りありますか。
(３) 緑は青と黄を混ぜた色と考えて，緑と青，緑と黄は線が重なる輪には色をぬれないものとします。このとき，青，黄，黒，緑，赤の５色をすべて使って色をぬる方法は何通りありますか。
栄東中学・A日程（2020年）

１月受験の代表校である栄東中学より「場合の数」の問題です。以下の過去問解説記事の使い方を読み、得点力アップや弱点補強にご活用ください。

本問題の難度

問題の難易度

易しい

Lv.1

Lv.2

Lv.3

Lv.4

Lv.5

難しい

Lv.３　中学受験難関校標準問題
中学受験難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。

解説

(１) 青，黄，黒，緑，赤の５色をすべて使って色をぬる方法

プロ家庭教師K

場合の数の色ぬり問題ですね。ステップ通り、解き進めていきましょう。

STEP

色をぬる部分に名前を付ける

色をぬる部分に名前を付けます。A，Bやア，イなど書きやすくシンプルな名前にしておきましょう。

STEP

ぬり方のパターンを考える

STEP１で分けた、ブロックのどこが同じ色になるか、違う色になるか、ぬり方のパターンを考えます。

(１)は５つの輪を５色すべてを使ってぬる必要がありますので、A，B，C，D，Eすべて違う色となり、ぬり方は１パターンとなります。

STEP

色の入れ方を考える

色の入れ方です。この最後のSTEP３でいよいよ赤，青など具体的な色名が出てきます。STEP３では、「〇ヵ所を〇色でぬるか」を考えて、通り数を出します。

(１)は５ヵ所を５色すべて使ってぬるので、５×４×３×２×１＝120通りとなります。

120通り

(２) 青，黄，緑，赤の４色をすべて使って色をぬる方法

ぬり方のパターンは？

(２)は、５つの輪を４色すべてを使ってぬり分けるので、どこか２ヵ所は同じ色となります。ぬり方のパターンは以下の通り、６パターンあります。

A＝C，B，D，E （AとCが同じ色で、B，D，Eは他の３色という意味）
A＝D，B，C，E
A＝E，B，C，D
B＝D，A，C，E
B＝E，A，C，D
C＝E，A，B，D

色のいれ方は？

次に、色のいれ方です。何か所を何色でぬるか？ですが、同じ色の部分は１ヵ所と考えます。よって、６パターン全て「４ヵ所を４色で入れる」なので、４×３×２×１＝24通り。
６×24＝144通りが答えとなります。

144通り

(３) 緑と青，緑と黄は重なってはいけないものとしたとき，青，黄，黒，緑，赤の５色をすべて使って色をぬる方法

緑が青・黄と重なってはいけないという新たなルールが加わりました。１番制限の多い「緑」の位置を決めて、場合分けして考えてみましょう。

緑がAの場合

緑がAの場合は、Aと重なっているBに「青」「黄」を入れてはいけません。つまり、Bに入る色は「黒」か「赤」の２通りとなります。残りのC，D，EはAと重ならない部分ですので、特に制限はありません。Cに入る色は残り３色、Dに入る色は残り２色、…と考えて、C，D，Eの色のいれ方は３×２×１＝６通り。
よって、緑がAの場合は２×６＝12通りです。

緑がBの場合

緑がBの場合は、Bと重なっているAとCに「青」「黄」を入れてはいけません。つまり、AとCに入る色は「黒」か「赤」となり、その通り数は２×１＝２通りです。残りのDとEはBと重ならない部分ですので、特に制限はありません。D，Eの色の入れ方は２×１＝２通りです。
よって、緑がBの場合は２×２＝４通りです。

緑がCの場合

緑がCの場合は、Cと重なっているBとDに「青」「黄」を入れてはいけません。つまり、BとDに入る色は「黒」か「赤」となり、その通り数は２×１＝２通りです。残りのAとEはCと重ならない部分ですので、特に制限はありません。A，Eの色の入れ方は２×１＝２通りです。
よって、緑がCの場合は２×２＝４通りです。