いもづる算・不定方程式

いもづる算・不定方程式(東京農業大学第一高等学校中等部 2020年)

ラグビーの試合では、トライを1回決めると5点入ります。トライを決めるとゴールを1回狙うことができ、ゴールを決めるとさらに2点入ります。Nチームは、1試合で123点入りました。Nチームのこの試合でのトライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせは、全部で何通りですか。

東京農業大学第一高等学校中等部(2020年)

東京農大第一よりラグビーを題材にした問題です。
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

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解説

いもづる算の解き方

ラグビーの問題です。算数ですので、ラグビーのルールや得点の仕組みは知らなくても特に問題ありません。まずは、問題文を一読して、点の取り方はトライ1回5点とトライ&ゴール1回ずつの7点の2種類であることを押さえておきましょう。

得点の取り方が2つあり、合計得点も分かっているので、つるかめ算と判断してしまう子もいるかもしれませんが、今回はトライとトライ&ゴールの合計の回数が分かっていませんので、つるかめ算ではなく、いもづる算(不定方程式)で解きます。

トライを決めた回数を〇回、トライ&ゴールを決めた回数を▢回とすると、以下のような式を作ることが出来ます。

5点×〇+7点×▢=123点

トライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせが何通りかを出すので、〇と□の組み合わせが何通りかを数え出していきます。
中途半端なところからではなく、まず▢回のMAX(最大)を考えてみましょう

東京農大第一解説用1

上の画像のように、123÷7=17…4から始め、7点以外の部分が5の倍数になるまで1つずつズラしていきましょう。5の倍数になれば、123点を5点と7点で分けることが出来るという事なので、1個目の組み合わせが見つかります。
1個目の組み合わせは、トライを決めた回数が5回、トライ&ゴールを決めた回数が14回の時となります。(5×5+7×14=123で合計得点123点と一致しますね。)

1個目の組み合わせを見つけた後は、最小公倍数ずつズラしていきます

東京農大第一解説用2

5と7の最小公倍数は35ですので、上の画像のように5点は7回増やして、7点は5回減らしてあげると、合計の得点は変わりません。
7点のMAXは14回ですので、5回ずつ減らしていくと、□には9回、4回が当てはまりますが、これ以上は減らすことは出来ないので、トライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせは3通りとなります。

不定方程式の数え上げのポイントは、
① まず、極端な方から1個目を見つける
② 1個目を見つけたら、最小公倍数ずつズラす

A.3通り

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる
ピヨまる
2019年にラグビーワールドカップが日本中で盛り上がりましたが、今回の問題は2020年入試ですよね。何か関係があるんでしょうか
K
K
関係はあるだろうね。算数も社会と同様に時事問題がある。例えば、消費税が増税となった翌年は消費税関連の問題が例年よりも出題されやすいね。でも、大手塾では入試直前に対策をしてくれるはずだから、そこまで不安にならなくてもOK。
算数の時事問題が他にどんな問題が出るのか気になる場合は、以下の記事を参考にしてください。
ピヨまる
ピヨまる
あざーす
2020年時事問題
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