いもづる算・不定方程式(東京農業大学第一高等学校中等部 2020年)

ラグビーの試合では、トライを1回決めると5点入ります。トライを決めるとゴールを1回狙うことができ、ゴールを決めるとさらに2点入ります。Nチームは、1試合で123点入りました。Nチームのこの試合でのトライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせは、全部で何通りですか。

東京農業大学第一高等学校中等部(2020年)

東京農大第一よりラグビーを題材にした問題です。
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

解説

いもづる算の解き方

ラグビーの問題です。算数ですので、ラグビーのルールや得点の仕組みは知らなくても特に問題ありません。まずは、問題文を一読して、点の取り方はトライ1回5点とトライ&ゴール1回ずつの7点の2種類であることを押さえておきましょう。

得点の取り方が2つあり、合計得点も分かっているので、つるかめ算と判断してしまう子もいるかもしれませんが、今回はトライとトライ&ゴールの合計の回数が分かっていませんので、つるかめ算ではなく、いもづる算(不定方程式)で解きます。

トライを決めた回数を〇回、トライ&ゴールを決めた回数を▢回とすると、以下のような式を作ることが出来ます。

5点×〇+7点×□=123点

トライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせが何通りかを出すので、〇と□の組み合わせが何通りかを数え出していきます。
中途半端なところからではなく、まず□回のMAX(最大)を考えてみましょう

東京農大第一解説用1

上の画像のように、123÷7=17…4から始め、7点以外の部分が5の倍数になるまで1つずつズラしていきましょう。5の倍数になれば、123点を5点と7点で分けることが出来るという事なので、1個目の組み合わせが見つかります。
1個目の組み合わせは、トライを決めた回数が5回、トライ&ゴールを決めた回数が14回の時となります。(5×5+7×14=123で合計得点123点と一致しますね。)

1個目の組み合わせを見つけた後は、最小公倍数を使ってズラしていきます
5と7の最小公倍数は35ですので、下の画像のように5点は7回増やして、7点は5回減らしてあげると、合計の得点は変わりません。

東京農大第一解説用2
最小公倍数を使ってズラす


7点のMAXは14回ですので、5回ずつ減らしていくと、□には9回、4回が当てはまりますが、これ以上は減らすことは出来ないので、トライを決めた回数とゴールを決めた回数の組み合わせは3通りとなります。

不定方程式の数え上げのポイント
  • 極端な方から1個目を見つける
  • 1個目を見つけたら、最小公倍数を使ってズラす

A.3通り

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

2019年にラグビーワールドカップが日本中で盛り上がりましたが、今回の問題は2020年入試ですよね。何か関係があるんでしょうか

プロ家庭教師K

関係はあるだろうね。算数も社会と同様に時事問題がある。例えば、消費税が増税となった翌年の入試では、消費税関連の問題が例年よりも出題されやすいね。でも、大手塾では入試直前に対策をしてくれるはずだから、不安にならなくてもOK。
算数の時事問題が他にどんな問題が出るのか気になる場合は、以下の記事を参考にしてください。

ピヨまる

あざーーーす

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過去問解説-東京農大第一中学2020年-芋づる算-

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