同じ長さの７本の矢印を横一列に並べます。
例１のように，となり合うどの２本の矢印の組も向き合っていないような７本の矢印の並べ方は㋐通りあります。
例２のように，となり合う２本の矢印の組のうち，１組だけが向き合っているような７本の矢印の並べ方は㋑通りあります。㋐，㋑にあてはまる数を求めなさい。例１ ← ← ← → → → →
フェリス女学院中学（2020年）
例２ ← → → ← → → →
神奈川女子御三家のフェリス女学院中学より「場合の数」の問題です。過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。
難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
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解説
㋐ どの矢印も向き合っていない場合
㋐は、例１（← ← ← → → → →）のように、となり合う２本の矢印が１つも向き合っていない場合を考えます。
さて、どのように解いていきましょう。数え出してみますか。
数え出しは、極端な状況から始めましょう。
今回は、矢印がすべて左に向いている状況から数え始めます。
（← ← ← ← ← ← ←）
すべて左。当然、１つも向き合っていませんね。
この極端な状況から、となり合う２本の矢印が１つも向き合わないように、１つずつ矢印の向きを変えていきます。
（→ ← ← ← ← ← ←）NG！
１番左の矢印の向きを変えると、向き合うので×となります。
（← → ← ← ← ← ←）NG！
同様に、左から２番目の矢印の向きを変えてみても、向き合うので×となります。
矢印の向きを変えても問題ないのは、１番右の矢印のみということが分かります。
（← ← → ← ← ← ←）NG！
（← ← ← → ← ← ←）NG！
（← ← ← ← → ← ←）NG！
（← ← ← ← ← ← →）OK！
その後も同様に考えると、１番右側から矢印の向きを変えていくしか条件に適さないので、となり合うどの２本の矢印の組も向き合っていないような７本の矢印の並べ方は、以下の８通りとなります。
（← ← ← ← ← ← ←）
（← ← ← ← ← ← →）
（← ← ← ← ← → →）
（← ← ← ← → → →）
（← ← ← → → → →）
（← ← → → → → →）
（← → → → → → →）
（→ → → → → → →）
㋑ 矢印が１組だけ向き合っている場合
㋑は㋐と違い、矢印が１組だけ向き合っている場合を問われています。
例）← → → ← → → →
向き合っている矢印（→←）の場所を移動させながら、数え出しを行っていきましょう。
まずは、→ ←の位置を極端な１番左側に置いて、通り数を考えてみます。
向き合っている矢印が左から１，２本目の場合
（→ ← ← ← ← ← ←）
赤い部分を固定して、他の部分で矢印が向かい合わないように１つずつ矢印をひっくり返していきます。㋐では右側から矢印を逆にしていくと向き合いませんでしたので、今回も同じように考えます。
（→ ← ← ← ← ← ←）
（→ ← ← ← ← ← →）
（→ ← ← ← ← → →）
（→ ← ← ← → → →）
（→ ← ← → → → →）
（→ ← → → → → →） 以上の６通りです。
向き合っている矢印が左から２，３本目の場合
次に、向き合っている矢印の場所（赤い部分）を１つズラして数え上げていきましょう。
（← → ← ← ← ← ←）
「向き合っている矢印が左から１，２本目の場合」との違いは、向き合っている矢印の左側に矢印があることです。この場合、左側と右側は別々に考える必要がありますね。
【左側】
（← → ← ← ← ← ←）
（→ → ← ← ← ← ←）
左側の矢印を右向きに変えても、向き合ってはいないのでOK。よって、２通りです。
【右側】
（← → ← ← ← ← ←）
（← → ← ← ← ← →）
（← → ← ← ← → →）
（← → ← ← → → →）
（← → ← → → → →）
㋐の時と同様に考え、５通りです。
左側２通り、右側５通りですので、向き合っている矢印が左側から数えて２本目、３本目に位置する場合は、２×５＝10通りとなります。
向き合っている矢印が左から３，４本目の場合
向き合っている矢印の場所（赤い部分）をさらに１つズラして数え上げていきましょう。
（← ← → ← ← ← ←）
【左側】
左側が１本増え、２本になりました。
（← ← → ← ← ← ←）
（← → → ← ← ← ←）
（→ → → ← ← ← ←） の３通り。
【右側】
（← ← → ← ← ← ←）
（← ← → ← ← ← →）
（← ← → ← ← → →）
（← ← → ← → → →） の４通り。
左側２通り、右側５通りですので、向き合っている矢印が左側から数えて３本目、４本目に位置する場合は、３×４＝12通りとなります。
向き合っている矢印が左から４，５本目の場合
プロ家庭教師Kさぁさぁ、ノッてきました！
まだまだ数えましょうと言いたいところですが、今回は対称性を使いましょう。向き合っている矢印が左から４，５本目の場合と左から３，４本目の場合は真ん中の４本目を境に対称になっており、向き合っている矢印が左から４，５本目は左から３，４本目の通り数と同じになります。
対称性を用いて、12通りです。
向き合っている矢印が左から５，６本目の場合
対称性を用いて、10通りです。
向き合っている矢印が左から６，７本目の場合
対称性を用いて、６通りです。
以上をまとめてあげると、となり合う２本の矢印の組のうち，１組だけが向き合っているような７本の矢印の並べ方は、（６＋10＋12）×２＝56通りとなります。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまるピィィ。場合の数がどうも苦手で、今回の問題も㋐で数え出しと判断するまですごい時間が掛かってしまいました…。どのように考えれば、素早く判断できるんでしょうか？
プロ家庭教師K入試では、問題を一読したのち「解き方の方針」を素早く、正しく立てられるかが重要だよね。場合の数では、通り数がどのくらいかな～？とザックリ考えてみることも大事。
強い制約があればあるほど、通り数は少なくなる。今回は矢印が７本、㋐は「となり合う２本の矢印が１つも向き合っていない」という強い制約があります。
明らかに式一発で解けるものは除くが、考えてみた結果、通り数が少ないという事であれば、数え出しと判断し動くのも１つの手だね。
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