場合の数(ラ・サール中学 2019年)

①から⑦までの番号のついた座席が横1列に並んでいます。人が座っている席のとなりには誰も座らないとします。
たとえば、①の席に人が座った場合②には誰も座らず、②の席に人が座った場合①と③には誰も座りません。このとき、次の問に答えなさい。

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

(1) A、B、C、D 4人の座り方は何通りですか。

(2) A、B 2人の座り方は何通りですか。

(3) A、B、C 3人の座り方は何通りですか。

ラ・サール中学(2019年)

男子名門校のラ・サール中学より「場合の数」の問題です。レッツトライ
場合の数は同校の頻出単元の1つなので、志望者はしっかりと対策をして入試に臨みましょう。

過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

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解説

(1) A、B、C、D 4人の座り方は何通り

プロ家庭教師K

人が座っている席のとなりには座れないので、①~⑦の席を4人で座るためには必ず 以下のような座り方になります。

4人での座るためには①③⑤⑦の席に座る

×がついている席は座れないので、座ることのできる4席①、③、⑤、⑦に座ることになります。
よって、A、B、C、D の並び方を考えると4人での座り方は、4×3×2×1=24通りです。

24通り

(2) A、B 2人の座り方は何通り

AとBの2人のみで座る時、2人がとなり合わない座り方は何通りかというのが(2)の問題設定です。

プロ家庭教師K

となり合わない席の選び方を決めてから、AとBの順番を考えてみよう。

過去問解説-ラサール中学_2019年4_場合の数2

となり合わない席の選び方は、上画像の通り15通りになります。AとBの順番は(A、B)(B、A)の2通りなので、15×2=30通りが答えになります。

プロ家庭教師K

極端な①③から始めて1つずつ席をズラしていくのが数え漏れを防ぐポイントですね。

30通り

別解① A、Bがとなり合う座り方を除く

プロ家庭教師K

「父,母,長男,次男,長女の5人が1列に並ぶとき、父と母がとなり合わない並び方は何通りあるか
こんな問題、塾のテキストでみんな解いたことがあるだろう。今回の問題も、この問題と同じように考え「全体の通り数」から「となり合う通り数」を引いて「となり合わない通り数」を求めることも出来ますね。

つまり、「何も制限が無い状態でのAとBの座り方」-「AとBがとなり合う座り方」=「AとBがとなり合わない座り方」を利用して解くことが出来ます。

何も制限が無いとき、Aの座り方は7通り、Bの座り方は6通りなので、AとBの座り方は7×6=42通り
AとBがとなり合う場合、となり合う席の選び方は①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥、⑥⑦の6通り。AとBの順番は(A、B)(B、A)の2通りなので、AとBの座り方は6×2=12通り

よって、A、B 2人の座り方は42-12=30通りです。

30通り

別解② 6席の座り方を考え、AとBの間に空席を1つ入れる

となり合う、となり合わないを考えることなく、1席少ない6席でのAとBの座り方を考えます。その後、AとBが座っている間に誰も座っていない1席を入れ、7席にします。すると、AとBが座っている間に空席を1つ入れるので、その時の7席の座り方はAとBは必ずとなり合っていない状態になります。

例えば、6席の座り方が下画像のように(A,B,×,×,×,×)の場合は、AとBの間に空席を1つ入れ(A,×,B,×,×,×,×)、つまり、席①にA、席③にBが座っていることを表します。

下画像のその他の例も見てみましょう。
(A,×,×,×,B,×)の場合は(A,×,×,×,×,B,×)
(×,×,B,A,×,×)の場合は(×,×,B,×,A,×,×)

先ほど書いたように、6席の座り方を考え、残りの空席1つをAとBの間に入れれば、AとBがとなり合わない7席の座り方になります。残りの1席は、AとBの間に入るように自動的に決定されるので、通り数には影響しません。通り数は6席の座り方がそのまま答えとなります。

よって、Aの座り方は6通り、Bの座り方は5通りなので、答えは6×5=30通りになります。

30通り

(3) A、B、C 3人の座り方は何通り

プロ家庭教師K

(2)の別解①と同じように、3人で座る時のとなり合わない席の選び方を考えてみましょう。

となり合わない席の選び方は、上画像の通り10通りになります。AとBとCの順番は3×2×1=6通りなので、A、B、C 3人の座り方は10×6=60通りが答えになります。

プロ家庭教師K

極端な①③⑤から始めて、①③⑥⇒①③⑦というように、1つずつ席をズラしていくのが数え漏れを防ぐポイントですね。

60通り

別解① 5席の座り方を考え、AとB、BとCの間に空席を1つずつ入れる

(2)の別解②と同様に考えてみましょう。
(2)では、1席少ない6席でのAとBの座り方を考えましたが、今回は、A、B、Cの3人なので、2席少ない5席での3人の座り方を考えます。その後、座っている人の間に空席を1つずつ入れて、7席の座り方を考えます。すると、人が座っている間に誰も座っていない1席を1つずつ入れるので、7席の座り方は誰もとなり合わない状態になります。

例えば、5席の座り方が下画像のように(A,B,C,×,×)の場合は、AとB、BとCの間に空席を1つずつ入れ、(A,×,B,×,C,×,×)、つまり、席①にA、席③にB、席⑤にCが座っていることを表します。

よって、5席の座り方を考え、座っている人の間に空席を1つずつ入れれば、A、B、Cの3人それぞれがとなり合わない7席の座り方になります。空席を入れる場所は自動的に決定されるので、通り数には影響しません。通り数は5席の座り方がそのまま答えとなります。

よって、Aの座り方は5通り、Bの座り方は4通り、Cの座り方は3通りなので、答えは5×4×3=60通りになります。

60通り

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

冒頭の画像左上に「時事問題」マークがついていますが、この問題のどの部分が時事問題なんですかただの場合の数に見えますけど

プロ家庭教師K

今回は2019年に出題された問題だが、「となりに座ることが出来ない」という条件は、現在(2021年)の過ごし方と同じだよね。よって、コロナ関連問題として時事問題扱いにしている。

ピヨまる

ほぉ。コロナ関連ですか。確かに。
今回はラーメン店のようなカウンタータイプの席ですが、他にどのような問題が考えられますかね

プロ家庭教師K

そうね。例えば、以下のように8人用の対面型の座席で「人が座っている席のとなりに座ってはいけません」に加え、「人が座っている席の正面に座ってはいけません」という条件なども考えられるかな。
自分で作問してみるのも良いトレーニングになるよ

過去問解説-ラサール中学_2019年4_場合の数4

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