場合の数

場合の数/色ぬり問題(芝中学 2017年)

次の問いの□をうめなさい。

カズオ君は学園祭でアイスクリーム屋をやることになりました。味はチョコ,バニラ,イチゴの3種類です。スプーンですくって最大4つのアイスクリームを縦に重ね,”芝アイス”として売ることにしました。同じ味が複数あってもよいこととし,さらに重ねる順番をお客さんは選ぶことができます。また,重ねる順番が異なる場合は異なるものとして考えます。

(1)芝アイスは全部で□通りあります。

(2)味が3種類の芝アイスは全部で□通りあります。

(3)味が2種類の芝アイスは全部で□通りあります。


アイスクリームを2つ重ねて作った場合の”芝アイス”

芝アイス1

芝中学(2017年)

男子難関校の芝中学より場合の数の問題です。学園祭で売られているアイスクリームの問題でその名も”芝アイス”。本当に芝中学の文化祭で売ってそうですね。どうなんでしょう
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

過去問解説記事の使い方中学受験算数教室サンスクでは、中学受験算数入試の過去問題の解説記事を定期的にアップしております。 本ページは過去問解説記事の効果的な使い方を記しております。第一志望校の合格を目指す受験生、得意分野をさらに伸ばしたい受験生、苦手分野を克服したい受験生等々本ページを読み、志望校合格にお役立てください。...

解説

(1)芝アイスは全部で何通りか

まずは、基本ルールを確認しておきましょう。
今回の基本ルールは以下の4つとなります。このルールに矛盾していないか常に気を付けて解き進めていってください。

  1. アイスは最大4つ重ねることができる
  2. アイスの味は3種類
  3. 同じ味のアイスが複数あってもよい
  4. 重ねる順番が異なる場合は異なる芝アイス

(1)は芝アイスが全部で何通りか
この問題はアイスを重ねる個数やアイスの味に制限はありません。つまり、アイスは最大4つ重ねることができますし、1つでも2つでも、3つ、4つでもOKであることが分かりますね。
アイスが1個、2個、3個、4個の場合でそれぞれ考えていきます。

芝アイス2味のないアイスにそれぞれ味をつけていくイメージですので、考え方としては色ぬり問題と同じで良いでしょう。ただ、今回の芝アイスは、一般的な色ぬり問題と異なり、となり合う味(色)が同じでもOKですので、その点は注意してください。

1個のとき:3通り
2個のとき:3×3=9通り
3個のとき:3×3×3=27通り
4個のとき:3×3×3×3=81通り

よって、3+9+27+81=120通りです。

K
K
となり合う味が同じでもOK、同じ味のアイスが何個あってもOKなので、チョコ、バニラ、イチゴのどのアイスを重ねてもOKですね。よって、3を掛けていくだけ

A.120

(2)味が3種類の芝アイスは何通りか

味が3種類の芝アイスですので、3つ重ねたアイスか、4つ重ねたアイスを考えます。(1つ、2つのアイスでは味を3種類入れることは不可能ですよね。)

3つ重ねたアイスのとき

3つ重ねたアイス、かつ味が3種類なので、重ねた3つのアイスそれぞれが異なる味である必要があります。(1)と違い、今回はとなり合う味が同じであってはならないということですね。

よって、3×2×1=6通り

4つ重ねたアイスのとき

4つ重ねたアイス、かつ味が3種類なので、重ねた4つのアイスのうち、2つが同じ味、あと2つは別々の味でなくてはなりません。4つのアイスの中で、同じ味のアイス2つがどれかを決めれば、残り2つは別々の味と確定しますので、まずは同じ味のアイス2つの場所を考えます。
コーンは問題と関係ないのでそろそろ省きますか。(決して描くのが面倒くさいからじゃないぞ・・)

芝アイス3
考え方は「4つの中から同時に2つを選ぶ」と同じですので、(4×3)÷(2×1)=6より、「アイス2つが同じ味で、残りのアイスは別々の味であるパターン」は6パターンあることが分かります。(上画像参考)

また、6パターンいずれにおいても、味は3種類ですので、味の決め方は3×2×1の6通りあります。
よって、アイスを4つ重ね、味が3種類の芝アイスは6×6=36通りとなります。

味が3種類の芝アイスは6+36=42通り

A.42

(3)味が2種類の芝アイスは何通りか

ラストは2種類の芝アイス。さて、(1)では味が1、2、3種類すべての芝アイスを求め、(2)では味が3種類の芝アイスを求めましたね。まだ求めていない芝アイスは「味が2種類の芝アイス」と「味が1種類の芝アイス」です。どちらの芝アイスが通り数を出しやすいでしょうか

ピヨまる
ピヨまる
当然、味が1種類の芝アイスの方が楽です
K
K
そうだね。今回は味が2種類の芝アイスを直接出すのではなく、芝アイスの全体の通り数から味が1種類と味が3種類の芝アイスの通り数を引いて、味が2種類の芝アイスの通り数を求めてみましょう。
味が1種類のときは、重ねたアイスが何個でも味は1種類なので、チョコ、バニラ、イチゴの3通りとなります。よって、4×3=12通りとなります。

全体の通り数は(1)の答えより、120通り。
味が1種類のときは12通り、3種類のときは42通りですので、味が2種類の芝アイスは120-(12+42)=66通りとなります。

A.66

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる
ピヨまる
(3)では味が2種類の芝アイスの通り数をそのまま出そうとして、時間が掛かってしまいました…。
K
K
そのまま出すのも1つの解法なので、それはそれでOK
ただ、場合の数では、今回のように聞かれている通り数をそのまま出すのではなく、全体の通り数からそれ以外の通り数を引いて求める方が楽な問題も多々あるね。いま解いている問題がどっちなのか判断する視点を忘れないようにしましょう
ピヨまる
ピヨまる
OKですうぅぅ…そんなことより芝アイス食べてえぇぇぇぇぇぇ
K
K
・・・おい。

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