ある整数を割り切ることのできる整数を、その整数の約数といいます。例えば、12の約数は、１，２，３，４，６，12の６個です。このとき、次の問いに答えなさい。
(１) ２×２×２×３×３×５の約数の個数を求めなさい。
(２) 約数の個数が11個である最小の整数を求めなさい。
(３) 約数の個数が12個である最小の整数を求めなさい。
浅野中学（2015年）
神奈川男子御三家の浅野中学より「数の性質」の問題です。レッツトライ！
過去問解説記事の使い方を読んだ上で、算数の志望校対策や、得点力アップ、弱点補強にご活用ください。
本問題の難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
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解説
(１) ２×２×２×３×３×５の約数の個数は？
約数の個数は、素因数分解したのち、場合の数の考え方を用いて解きます。
・２は３個なので、選び方は０個、１個、２個、３個の４通り
・３は２個なので、選び方は０個、１個、２個の３通り
・５は１個なので、選び方は０個、１個の２通り
よって、組み合わせ（約数の個数）は４×３×２＝24個となります。
(２) 約数の個数が11個である最小の整数は？
(２)は約数の個数が11個と確定しています。
11は素数ですので、求める整数を素因数分解したときの形は、素数Aを10個掛け合わせた「A×A×A×A×A×A×A×A×A×A」のみとなります。
最小の整数となる時は当然素数Aが最小の場合ですので、２×２×２×２×２×２×２×２×２×２＝1024です。
(３) 約数の個数が12個である最小の整数は？
(２)と同様に考えると、約数の個数が12個の場合は、12を表す掛け算の形は以下の４つがあるので、求める整数を素因数分解したときの形も複数考えられます。
- 12
- ２×６
- ３×４
- ２×２×３
求める整数を素因数分解したときの形は、以下のように場合分け出来るので、それぞれの場合における最小の整数を考えていきます。
- 12の場合、A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A
- ２×６の場合、A×B×B×B×B×B
- ３×４の場合、A×A×B×B×B
- ２×２×３の場合、A×B×C×C
12の場合
A＝２の時、２を11回掛けた数なので、1024×２＝2048
２×６の場合
個数が多いBを小さくした方が求める整数は小さくなるので、A＝３、B＝２の時、３×２×２×２×２×２＝96
３×４の場合
A＝３の時、B＝２の時、３×３×２×２×２＝72
２×２×３の場合
A＝５、B＝３、C＝２の時、５×３×２×２＝60
※A＝４にしないように注意。素因数分解の結果なので、A，B，Cには素数しか入らない。
よって、約数の個数が12個である最小の整数は60となります。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる(１)は360の約数を地道に数え出すのでも何とかなりそうですし、(３)の約数が12個の整数も答えは60だから地道に数え出してもいいんじゃないですか？公式なんていらないのでは？
プロ家庭教師Kほう。では、約数が12個の整数の内、３桁で最大の整数を聞かれたら？
ピヨまるぐぬぬ……。
プロ家庭教師Kはい。確かに今回の問題は地道に数え出しても出来るかもしれないけど、数が大きくなると厳しいよね。
ぐぬぬってないで、約数の個数の求め方は基本知識として身につけておこう。ただし、公式丸暗記ではなく、なぜその式になるのかの説明が出来るようにね！
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