数の性質

数の性質/約数の個数(浅野中学 2015年)

ある整数を割り切ることのできる整数を、その整数の約数といいます。例えば、12の約数は、1,2,3,4,6,12の6個です。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2×2×2×3×3×5の約数の個数を求めなさい。 

(2) 約数の個数が11個である最小の整数を求めなさい。

(3) 約数の個数が12個である最小の整数を求めなさい。

浅野中学(2015年)

神奈川男子御三家の浅野中学より「数の性質」の問題です。レッツトライ
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解説

(1) 2×2×2×3×3×5の約数の個数は

約数の個数は、素因数分解したのち、場合の数の考え方を用いて解きます

・2は3個なので、選び方は0個、1個、2個、3個の4通り
・3は2個なので、選び方は0個、1個、2個の3通り
・5は1個なので、選び方は0個、1個の2通り

よって、組み合わせ(約数の個数)は4×3×2=24個となります。

A. 24個

(2) 約数の個数が11個である最小の整数は

(2)は約数の個数が11個と確定しています。
11は素数ですので、求める整数を素因数分解したときの形は、素数Aを10個掛け合わせた「A×A×A×A×A×A×A×A×A×A」のみとなります。

最小の整数となる時は当然素数Aが最小の場合ですので、2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024です。

A. 1024

(3) 約数の個数が12個である最小の整数は

(2)と同様に考えると、約数の個数が12個の場合は、12を表す掛け算の形は以下の4つがあるので、求める整数を素因数分解したときの形も複数考えられます。

  1. 12
  2. 2×6
  3. 3×4
  4. 2×2×3

求める整数を素因数分解したときの形は、以下のように場合分け出来るので、それぞれの場合における最小の整数を考えていきます。

  1. 12の場合、A×A×A×A×A×A×A×A×A×A×A
  2. 2×6の場合、A×B×B×B×B×B
  3. 3×4の場合、A×A×B×B×B
  4. 2×2×3の場合、A×B×C×C
①の場合

A=2の時、2を11回掛けた数なので、1024×2=2048

②の場合

個数が多いBを小さくした方が求める整数は小さくなるので、A=3、B=2の時、3×2×2×2×2×2=96

③の場合

A=3の時、B=2の時、3×3×2×2×2=72

④の場合

A=5、B=3、C=2の時、5×3×2×2=60
※A=4にしないように注意。素因数分解の結果なので、A,B,Cには素数しか入らない。

よって、約数の個数が12個である最小の整数は60となります。

A. 60

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる
ピヨまる
(1)は360の約数を地道に数え出すのでも何とかなりそうですし、(3)の約数が12個の整数も答えは60だから地道に数え出してもいいんじゃないですか公式なんていらないのでは
K
K
ほう。では、約数が12個の整数の内、3桁の最小の整数を聞かれたら
ピヨまる
ピヨまる
ぐぬぬ……。
K
K
はい。確かに今回の問題は地道に数え出しても出来るかもしれないけど、数が大きくなると厳しいよね。
ぐぬぬってないで、約数の個数の求め方は基本知識として身につけておこうただし、公式丸暗記ではなく、なぜその式になるのかの説明が出来るように

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