立体図形(回転体)

立体図形/回転体(共立女子中学 2014年)

下の図形について、あとの各問いに答えなさい。

立体図形回転体(共立女子)

① BHの長さは何cmですか。
② 三角形ABCを辺ACを軸にして回転させた立体と、辺ABを軸にして回転させた立体の体積の比を、最も簡単な整数の比で書きなさい。

共立女子中学(2014年)

共立女子中学より立体図形の回転体の問題です。色々なポイントの詰まった学習効果の高い問題ですので、回転体を1度でも学んだことのある中学受験生はぜひトライしてみてください

解説

① BHの長さは何cmですか

辺BHの長さを求める問題。
まだ回転していないので、①は平面図形の問題です。

立体図形回転体2(共立女子)上記のように×の角度を置いてあげると、△ABCと△AHBと△BHCが相似であることが分かります。以下、相似を使用するときの注意点も重要ですので、一読しておきましょう。

問題文に載っている図が正しく書かれているとは限りません。相似を使う時はパッと見で判断してはダメ。きちんと角度や辺の比を確認しましょう。

△ABCと△AHB、△BHCが相似なので、タテヨコナナメの3辺の比はすべて等しいことが分かります。△ABCの3辺の長さは図より3cm、4cm、5cmなので、3辺の比は3:4:5になります。
また、△ABCと△AHBのナナメの辺(斜辺)は5cmと3cmですので、△ABC、△AHBの相似比は5:3であることが分かります。

△AHBのBHは、△ABCのBCと対応する辺なので、BH=AB×\(\large{\frac{4}{5}}\)=3cm×\(\large{\frac{4}{5}}\)=2.4cmとなります。

K
K
パッと見で相似・合同と確定してはいけませんが、今回直角三角形が組み合わさった相似は「よくある相似」の1つです。見た瞬間「はいはい、またこのパターンね」と思えるレベルにしておきましょう。

A. 2.4cm

(2)辺ACを軸にした回転体と辺ABを軸にした回転体の体積比は

さて、いよいよ回転体です。
回転体はまずどんな立体になるのかをイメージしましょう。回転体を習って間もない子や、回転体に苦手意識のある子は実際に立体を描く癖をつけておいてください。

以下のように軸となるAB、ACに対し、対応する点をそれぞれ取って、その点と各頂点を結び、立体図形を描くとキレイにまとまります。
左の立体がACを軸にして回転させた立体、右の立体がABを軸にして回転させた立体です。

立体図形回転体3(共立女子)

すると、ACを軸にして△ABCを回転すると半径が2.4cm(設問1で求めたましたね)、高さが上下(AHとHC)合わせて5cmの2つの円すい。ABを軸にして△ABCを回転すると半径が4cm、高さが3cmの円すいが出来上がります。

それぞれの円すいの半径を比べると2.4cmと4cmなので、簡単な比にすると3:5、高さは5cmと3cmなので、比はそのまま5:3。
よって、「三角形ABCを辺ACを軸にして回転させた立体と、辺ABを軸にして回転させた立体の体積の比」は、3×3×5:5×5×3の45:75=3:5になります。

2.4cm×2.4cm×3.14×5cm÷3、4cm×4cm×3.14×3cm÷3というように実際の体積を計算で出して比べても、体積比は3:5になります。ただし、×3.14や÷3などの共通部分は体積比に影響を与えないので、はじめから除きましょう

聞かれているのは「実際の体積」ではなく「体積比」
比を出すだけなので、半径や高さは比でOK。また、体積比に影響を与えない共通部分(今回は×3.14、÷3)も削ってよし

A.3:5

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