右の図のように，東西方向に５本，南北方向に４本の道があります。これらの道を通って，遠回りしないでA地点からB地点へ行きます。このとき，×印のついた道を通らない行き方は何通りあるかを求めなさい。
東邦大学付属東邦中学（2015年）
千葉県の人気中高一貫校の東邦大学付属東邦中学より「場合の数」の道順問題です。レッツトライ！
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。
問題の難度
Lv.１ 中学受験 基本問題
各単元の基本問題。１から基本ポイントの確認や弱点補強をしたい受験生や、５～６年生の通常カリキュラムの復習にオススメです。４年生も既習単元の問題は積極的にチャレンジしてみてください。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。
解説
道順問題の解き方
道順問題の基本的な解き方は１マスずつていねいに通り数を書き進めていくことですね。
まずは、北方向に１を４回、東方向に１を３回書く所から始めましょう。
スタートのA地点を（北０東０）、ゴールのB地点を（北４東３）と表すことにすると、今回は（北２東１）から（北２東２）に進む道が通ることが出来なくなっています。
プロ家庭教師K北２，東２の通り数を３＋３＝６通りにしないように気を付けましょう。
※以下画像の青字の部分です。
気を付ける部分としてはその点のみですね。道順問題の基本的な問題ですので、受験生は必ず正答して、点を稼いでおきたい問題です。
解説（別解）－道順の公式を使おう！－
道順の問題は、場合の数のコンビネーションを利用して解くことが出来ますので、今回はコンビネーションを利用した解き方を別解で載せておきます。
なお、別解は「×印の道を通らない行き方＝全体の通り数－×印の道を通る通り数」と考えて、解き進めていきます。
別解
×印の道も通ることが出来るとすると、A地点からB地点までは、必ず縦に４本、横に３本、計７本の辺を進みます。コンビネーションの考えと同様に、７本の内、横３本をいつ進むのかを確定させれば、AからBまでの行き方を求めることが出来ます。
よって、７つから３つ選ぶと同様に\(\large{\frac{７×６×５}{３×２×１}}\) = 35通り
次に、AからBまで行くときに必ず×印の道を通ることを考えます。
×印の道の左端をC地点、右端をD地点とすると、A地点からC地点までは縦に１本、横に２本で計３本進みますので、進み方は\(\large{\frac{３}{１}}\) = ３通り
D地点からゴールのB地点までも同様ですので、３通りとなります。
Aから×印の道を通り、Bまで行く時の通り数は、３×１×３＝９通りです。
全体の通り数である35通りから９通りを引き、×印の道を通らない行き方は26通りであることが分かります。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる道順問題はコンビネーションでも解けるんですね。中々便利そうで、僕好みですよ。でもこの解き方って常に使えるんでしょうか？
プロ家庭教師K今回のように問題設定が簡単な場合は、コンビネーションを用いた方が時短になることは多いね。でも条件がもっと複雑な問題は、１マスずつていねいに書き進めていく方がいいかな。調子に乗ってコンビネーションを活用しようとして、間違えたら意味ないからね。
また、今回は詳しくは載せていないけど、コンビネーションを利用する上で重要なことは、道順問題がなぜコンビネーションで解けるのか？という理由・背景を正しく理解すること。
少しでも不安なら、手を動かして、１マスずつ通り数を埋めていこう！
ピヨまる手を動かすことが大事なんですね。よーし、動かすぞぉ。ドリャアアア、アチョーーーー、シュタタタタタタ！
プロ家庭教師Kいや、そういう事じゃないんだよなぁ。
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