地点Pと地点Qの間を，A君はPを，B君はQを同時に出発してそれぞれ一定の速さで１往復します。２人が初めてすれ違ったのは，Qから675m離れた地点でした。次にすれ違ったのは，Pから225m離れた地点で，出発してから45分後でした。
(１) ２人が初めてすれ違ったのは，出発してから何分後ですか。
(２) PQ間の距離は何mですか。
海城中学（2021年）
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本問題の難度
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解説
(１) ２人が初めてすれ違ったのは何分後？
まず、状況を整理しましょう。
A君はP、B君はQから同時に出発し、一定の速さで進みます。２人が初めてすれ違う時を状況図に表すと以下の通りとなります。
２人が初めてすれ違うのはQから675m離れた地点ですが、B君の速さは分かっていませんので、初めてすれ違うまでの時間を求めることは出来ません。
ピヨまるぐぬぬ・・。次だ！次ぃぃ！時を進めよう！
さて、時を進めて、２回目にすれ違う時を状況図に表してみます。A君もB君も折り返して、Pから225m離れた地点ですれ違いますので、以下の通りとなります。（出発してから45分後）
ここで、１回目にすれ違う時と２回目にすれ違う時を比べてみると、１回目にすれ違うまでは、A君・B君の２人でPQ１本分の距離を進んでおり、２回目にすれ違うまでは、A君・B君の２人でPQ３本分の距離を進んでいることが分かります。
A君とB君の速さは一定ですので、掛かる時間の比は、進んだ距離の比と同じく１：３となります。つまり、１回目にすれ違うまでの時間：２回目にすれ違うまでの時間は１：３です。２回目にすれ違う時の時間は出発してから45分後であるため、45÷３＝15より、初めてすれ違ったのは、出発してから15分後となります。
(２) PQ間の距離は何m？
(１)で初めてすれ違った時が出発してから15分後と分かりました。この情報とすでに分かっていた情報を結び付けて、何か出来ないか？を考えましょう。
初めてすれ違ったのは、Qから675m離れた地点ですので、B君は15分で675m動いていることが分かります。よって、B君の速さは675÷15＝45より、分速45m。
２回目にすれ違ったのは、出発してから45分後なので、45×45＝2025より、B君はQから2025m進んでいます。この2025mは状況図の水色の矢印ですので、PQ間の距離は2025－225＝1800より、1800mであると分かります。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる出発地点が反対側で、同時にスタートし、２人の速さが途中で変わらないというシンプルな条件ならば、１回目にすれ違うまでに掛かる時間と２回目にすれ違うまでに掛かる時間は１：３の関係という事ですね。
プロ家庭教師K中学受験の速さではよく問われるポイントの１つだね。単なる暗記ではなく、必ず理屈もセットで押さえておこう。
余裕があれば、３回目、４回目にすれ違うまでに掛かる時間はどうなるか？出発地点が同じときはどうなるか？など派生させて考えてみるのも良い勉強になるよ。
ピヨまるほぉ。そうと聞いたら考えない訳にはいかないですね。やったるでぇぇぇぇ！！
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