１，30，275，1468のような同じ数字を２回以上用いないで表される整数を、１から小さい順に並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。
(１) 98は何番目ですか。
(２) 987は何番目ですか。
(３) 2018は何番目ですか。
ラ・サール中学（2018年）
男子名門校のラ・サール中学より「場合の数」の問題です。レッツトライ！
場合の数は同校の頻出単元の１つなので、志望者はしっかりと対策をして入試に臨みましょう。
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。
難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。
解説
(１) 98は何番目か？
プロ家庭教師Kこの手の問題の解法としてまず押さえてほしいことは、ケタごとに場合分けして考えるという発想です。今回も場合分けして考えてみます。
まず、１ケタの場合は特に何も制限が無いので１～９の９個になります。
次に、２ケタの場合を考えます。２ケタの場合は同じ数字を使わないという制限があります。
十の位は、先頭に０が入らないので１～９の９通り。一の位は、０～９の内、十の位で選んだ数字以外であればOKなので、こちらも９通り。よって、２ケタの整数は９×９＝81個あります。
98は２ケタの整数の中で最も大きくなるので、９＋81＝90番目が答えになります。
※99は同じ数字を使っているので不可
(２) 987は何番目か？
プロ家庭教師K987は３ケタの整数の中で最も大きい整数です。(１)で１ケタの整数の個数，２ケタの整数の個数を求めているので、(２)は３ケタの整数の個数のみ考えましょう。
３ケタの場合、百の位は１～９の９通り、十の位は百の位で選んだ数字以外の９通り、一の位は百の位・十の位で選んだ数字以外の８通り。よって、３ケタの整数の個数は、９×９×８＝648個あります。
987は３ケタの整数の中で最も大きい整数なので、90＋648＝738番目になります。
プロ家庭教師K考え方が分かっていれば、さくさく解けるね。
(３) 2018は何番目か？
次は2018です。今回は４ケタの整数ですが、(１)(２)と異なる点は４ケタの整数の中で最大ではない点です。
まずは、１□□□（1000台）の整数の個数を求めて、その後に２□□□（2000台）の整数の個数を考えましょう。
千の位は１で確定。
百の位は０～９の内、１以外の９通り。
十の位は千の位・百の位で選んだ数字以外OKなので、８通り。
一の位は千の位・百の位・十の位で選んだ数字以外OKなので、７通り。
よって、１□□□（1000台）の整数は、９×８×７＝504個あります。
プロ家庭教師Kここまで来たら、あとは２□□□の形で2018が何番目かを出すだけです。残りの個数も少ないので、確実に正答するために書き出すのをオススメします。
ピヨまる同じ数字は使ってはいけないので、2000～2009は全て０を２回使うので、アウトですね。
2010、2011、2012も同じ数字を使っているので、アウトです。
２□□□の形は、2013，2014，2015，2016，2017，2018の６個あります。
よって、2018は、738＋504＋６＝1248番目が答えになります。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる僕の野生のヒヨコ勘によると、色々と別解がありそうな気がしますが、どうでしょうか？
プロ家庭教師Kその勘は初めて聞いたけど、するどい勘だね。てか野生なの？
例えば、(１)は以下のような別解があるよ。
【別解①】
１ケタ・２ケタをまとめて考えても解くことが出来る。十の位は０～９の10通り、一の位は０～９の内、十の位で選んだ数字以外の９通り。よって、10×９＝90番目
【別解②】
１～99は、99個。
この99個の中で同じ数字を使う整数は11，22，・・・，88，99の９個なので、99－９＝90番目
ピヨまるなるほど。別解①は先頭の十の位に０が入っていますが、良いんですか？
プロ家庭教師K十の位に０を入れないと、一番小さい整数が10となってしまい、１～９の１ケタの整数が表せない。
別解は１ケタ・２ケタをまとめて考えているので、十の位を０、一の位を５にした場合は、０５となり、それは５を表していることになるよ。
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