場合の数(豊島岡女子学園中学 2020年)

22、262のように2を2回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて何番目の数ですか。

豊島岡女子学園中学(2020年)

女子最難関校の1つの豊島岡女子学園中学より「場合の数」の出題です。豊島岡女子学園において、場合の数は頻出単元ですので、志望者は要チェックです。

本問題の難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

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解説

ケタ数で場合分けする方法

2を2回使用するという条件を守った上で、ケタごとに場合分けして考えてみましょう。

2桁の場合

2桁の場合は「22」のみの1個です。

3桁の場合

3桁の場合は、22□、2□2、□22の3パターンが考えられます。

2は2回しか使うことは出来ませんので、□に2を入れることは出来ません。□に入れることの出来る数は0~9の内の2以外の数ですので、22□、2□2はいずれも9通りとなります。また、今回は3桁の場合としているので、□22の□には0を入れることは出来ません。よって、□22は9-1の8通り。

3桁の場合は9+9+8=26個です。

4桁の場合

千の位の数が1の場合

4桁の場合は、まず千の位の数が1の時は何通りあるのかを考えます。

千の位の数が1の時も3桁と同様に考え、122□、12□2、1□22の3パターンを考えていきます。

3桁の場合は千の位の数が0だったとも考えることが出来ますので、122□と12□2は、3桁の時の22□と2□2と考え方は何も変わりありません。0~9の内の2以外の数を使って、9通り×2=18通り。
ただし、1□22は千の位が1になったことで□に0を入れることが出来るようになったので、注意です。8通りではなく9通りになります。

よって、千の位の数が1の時は9×3=27個

千の位の数が2の場合

千の位の数が2の時は、2000~2020まで数えてしまった方が早いでしょう。「2002、2012、2020」で、3個になります。

プロ家庭教師K

ようやく、全ての通り数が出そろったね。

以上の事から、2を2回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて、1+26+27+3=57番目と分かります。

A.57番目

(別解)2000未満と2000以上で場合分けする場合

2が2つとなるパターン
プロ家庭教師K

別解も載せておきます。ケタ数で場合分けをするのではなく、先頭に0を入れても良いカード並べの問題として、まとめて考えます。2が2つから成るパターンを出してから、A・Bに入る数を考えて、個数を求めます。

2000以降は2020までと途中でストップしているので、2000未満と2000以上の整数に場合分けして考えます。

AB22,A2B2,A22Bは、千の位の数Aに入るのはいずれも0か1の2通り、Bに入る数は0~9の内、2を除いた9つなので、3パターンそれぞれ2×9=18通りとなります。(AB22でAもBも0である場合は、0022となり、22の事を表しています。)
また、2000~2020は前の解法の通りそのまま数え上げて、2002、2012、2020の3つですので、2020は18×3+3=57番目です。

A.57番目

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

この豊島岡女子学園の問題は2020年度入試ですよね。
2を2回だけ使用する点や、2020が何番目であるかを聞かれている点は偶然なのでしょうかそれとも何か関係があるのでしょうか

プロ家庭教師K

うん、関係しているだろうね。
中学入試の算数では受験する年度の西暦を使用した問題が散見される。学校によって好みがあるので、過去問では「自分の受験する学校は西暦がよく使われる学校なのか」はチェックしておくといいね。
算数の時事問題の1つだけど、ただの数値替え問題なので対策は6年秋以降でOKだよ。

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