平面図形|面積(吉祥女子中学 2016年)

図のように正方形や長方形を合計81枚しきつめました。後の問いに答えなさい。

吉祥女子中学-2016年-平面図形1

(1) しきつめた81枚の四角形の面積の合計は何㎠ですか。

(2) 影をつけた部分の面積の合計は何㎠ですか。

吉祥女子中学(2016年)

女子難関校の吉祥女子中学より平面図形(面積)の問題です。見るからに工夫して面積を出すことが出来そうですね。ぜひトライしてみてください。
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

Lv.1 中学受験 基本問題
各単元の基本問題。
1から基本ポイントの確認や弱点補強をしたい受験生や、5~6年生の通常カリキュラムの復習にオススメ。
偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。

解説

(1) しきつめた81枚の四角形の面積の合計は

(1)は色がついている、ついていないは関係なく、しきつめた81枚の四角形の面積です。
81枚の四角形をくっつけた大きな正方形は、縦の長さも横の長さも1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9÷2=45cmです。

よって、面積は45×45=2025㎠

プロ家庭教師K

1から10までの和が55であることを覚えておくと様々な場面で使えるのでオススメ

2025㎠

(2) 影をつけた部分の面積の合計は

プロ家庭教師K

(2)です。影のついた部分の面積は色々な出し方はありますが、本解説では影のついた部分の四角形の中で同じ大きさ、同じ形の四角形に着目してみます。
例えば、縦2cm、横1cmの四角形(下画像左上のオレンジ色の四角形)は、その右上の縦1cm、横2cmの四角形と合同です。
他の四角形もそれぞれに対応するように、合同な四角形を持つため、オレンジ色の四角形の面積の合計と水色の四角形の面積の合計は同じになります。

吉祥女子中学-2016年-平面図形2

オレンジ色の四角形の面積の合計と水色の四角形の面積の合計は同じなので、オレンジ色の四角形の面積を出してから2倍して答えを求めましょう。1つずつ計算しても出来ますが、オレンジ色の四角形のみを集めて、くっつけると以下のような長方形になります。
縦の長さは2+4+6+8=20cm、横の長さは1+3+5+7+9=25cmの長方形になるため、面積は20×25=500㎠です。

吉祥女子中学-2016年-平面図形3

水色の四角形はオレンジ色の四角形と面積が同じなので、こちらも500㎠。
よって、影をつけた部分の面積の合計は500+500=1000㎠です。

プロ家庭教師K

今回のように影をつけた部分を寄せ集める以外にも色々な工夫がありそうですね。時間に余裕があれば、他の方法も考えてみましょう。

1000㎠

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

解説とは違う求め方でしたが、僕なりに工夫して出来ましたよ。
ちなみに今回の問題は工夫を全く思いつかなかった場合はどうすればよいですかね

プロ家庭教師K

まぁ、そういう時もあるわな。
仮に工夫が思いつかなったとしても、今回は影のついた部分は全て縦の長さ、横の長さが分かっている長方形だよね。長さが出ているので、まずはそれぞれの四角形の面積を実際に出してみましょう。
実際に何個か面積を出すことをきっかけに工夫を思いつくかもしれん。手が止まっている時こそ、頭の中だけで考えるのではなく、まずは出せるものを出してみるという行動は大事だよ。

ピヨまる

ふむふむ。確かに、手を動かして出せるものを出していたら、そこからひらめいた経験が何回もあるなぁ。ひらめくのは僕が天才だからだと思っていましたよ。

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