場合の数(浅野中学 2019年)

A,B,C,Dの4人でじゃんけんを1回します。このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 4人の手の出し方は全部で何通りありますか。

(2) 2人だけが勝つ場合、4人の手の出し方は全部で何通りありますか。

(3) グーを出した人が勝つ場合、4人の手の出し方は全部で何通りありますか。

(4) 全員が同じ手を出さないであいこになる場合、4人の手の出し方は全部で何通りありますか。ただし、解答用紙に考え方や式も書きなさい。

浅野中学(2019年)

神奈川男子御三家の浅野中学より場合の数の問題です。
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

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解説

(1) 4人の手の出し方は何通りか

(1)は基本問題ですね。
A君はグー、チョキ、パーの3通りの手を出すことができ、その他のB君、C君、D君も手の出し方に何の制約もないので、皆3通りの手を出すことが出来ます。

よって、3×3×3×3=81通り

A.81通り

(2) 勝者が2人の時の4人の手の出し方は何通りか

こちらも場合の数が頻出分野の学校を受験する生徒は、サクッと解きたい問題です。

まずは、4人の中から勝者2人を決めましょう。
4人から同時に2人を選ぶと同じですので、\(\large{\frac{4×3}{2×1}}\) =6通り

勝者2人が決まったので、今度は手の出し方を考えましょう。
勝者2人の勝ちパターンはグーで勝つとき、チョキで勝つとき、パーで勝つときの3パターンです。グーで勝つときは残り2人の敗者は必ずチョキで負け、チョキで勝つときは必ずパーで負けることが決まっていますので、敗者の手の出し方を考える必要はありません。

よって、答えは6×3=18通りです。

A.18通り

(3) グーが勝つ時の4人の手の出し方は何通りか

(3)では勝ち方が決まっていますが、勝つ人数が決まっていません。そのため、勝つ人数を場合分けしてから(2)と同じように解き進めていきましょう。

勝つのが1人の時

誰が勝つかを決めればいいので、A、B、C、Dの4通り。

勝つのが2人の時

(2)と同様なので、6通り。

勝つのが3人の時

誰が1人負けするのかを決めればいいので、4通り。

勝つのが4人の時はあり得ませんので、こちらで終了です。
答えは、4+6+4=14通り

A.14通り

(4) 全員が同じ手を出さずあいこになった時の4人の手の出し方は何通りか

同じ手を出さずあいこになっているので、4人のうち3人はグー、チョキ、パーを出しており、残りの1人はグー、チョキ、パーのどれを出しても良いこととなります。
つまり、手の出し方のパターンは残りの1人がグーのとき、チョキのとき、パーのときの3パターンあります。

以下の3パターン
(グー、グー、チョキ、パー)
(グー、チョキ、チョキ、パー)
(グー、チョキ、パー、パー)

グーが2人いる(グー、グー、チョキ、パー)のパターンを考えてみます。
チョキはA、B、C、Dの誰でもいいので4通り。パーは残った3人の内の1人なので、3通り。グーは残った2人なので、1通り。
よって、グーが2人いるパターンは4×3×1=12通り。

その他の2パターンも通り数は同じですので、12×3=36通りが答えです。

A.36通り

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

場合の数では、よくじゃんけんの問題を見かけますがなぜでしょうか

プロ家庭教師K

確かに多いね。1回で出す手は3つある点、結果は勝ち負けあいこの3つある点、人数・回数を自由に増やせる点など、じゃんけんは作問者にとって問題が作りやすい要素がそろっているんじゃないかな。
あとはルールを説明しなくてもいいっていうのも大きいと思うね。

ピヨまる

そうなんですね。じゃんけん問題は場合の数以外でも出題されるんでしょうか

プロ家庭教師K

出題されることはあるよ。
例えば、典型題だと「A君とB君はいま階段の同じ段にいます。じゃんけんに勝つと階段を3段上がり、負けると1段下がる。10回勝負してA君はB君より〇段上にいました。A君は何回勝利したでしょうか?」とか。
じゃんけん問題=場合の数ではないよ。

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