場合の数(ラ・サール中学 2018年)

1,30,275,1468のような同じ数字を2回以上用いないで表される整数を、1から小さい順に並べていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1) 98は何番目ですか。

(2) 987は何番目ですか。

(3) 2018は何番目ですか。

ラ・サール中学(2018年)

男子名門校のラ・サール中学より「場合の数」の問題です。レッツトライ
場合の数は同校の頻出単元の1つなので、志望者はしっかりと対策をして入試に臨みましょう。

過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。

難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

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解説

(1) 98は何番目か

プロ家庭教師K

この手の問題の解法としてまず押さえてほしいことは、ケタごとに場合分けして考えるという発想です。今回も場合分けして考えてみます。

まず、1ケタの場合は特に何も制限が無いので1~9の9個になります。

次に、2ケタの場合を考えます。2ケタの場合は同じ数字を使わないという制限があります。
十の位は、先頭に0が入らないので1~9の9通り。一の位は、0~9の内、十の位で選んだ数字以外であればOKなので、こちらも9通り。よって、2ケタの整数は9×9=81個あります。

98は2ケタの整数の中で最も大きくなるので、9+81=90番目が答えになります。
99は同じ数字を使っているので不可

90番目

(2) 987は何番目か

プロ家庭教師K

987は3ケタの整数の中で最も大きい整数です。(1)で1ケタの整数の個数,2ケタの整数の個数を求めているので、(2)は3ケタの整数の個数のみ考えましょう

3ケタの場合、百の位は1~9の9通り、十の位は百の位で選んだ数字以外の9通り、一の位は百の位・十の位で選んだ数字以外の8通り。よって、3ケタの整数の個数は、9×9×8=648個あります。

987は3ケタの整数の中で最も大きい整数なので、90+648=738番目になります。

プロ家庭教師K

考え方が分かっていれば、さくさく解けるね。

738番目

(3) 2018は何番目か

次は2018です。今回は4ケタの整数ですが、(1)(2)と異なる点は4ケタの整数の中で最大ではない点です。
まずは、1□□□(1000台)の整数の個数を求めて、その後に2□□□(2000台)の整数の個数を考えましょう。

千の位は1で確定。
百の位は0~9の内、1以外の9通り。
十の位は千の位・百の位で選んだ数字以外OKなので、8通り。
一の位は千の位・百の位・十の位で選んだ数字以外OKなので、7通り。

よって、1□□□(1000台)の整数は、9×8×7=504個あります。

プロ家庭教師K

ここまで来たら、あとは2□□□の形で2018が何番目かを出すだけです。残りの個数も少ないので、確実に正答するために書き出すのをオススメします

ピヨまる

同じ数字は使ってはいけないので、2000~2009は全て0を2回使うので、アウトですね。

2010、2011、2012も同じ数字を使っているので、アウトです。
2□□□の形は、2013,2014,2015,2016,2017,2018の6個あります。

よって、2018は、738+504+6=1248番目が答えになります。

1248番目

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

僕の野生のヒヨコ勘によると、色々と別解がありそうな気がしますが、どうでしょうか

プロ家庭教師K

その勘は初めて聞いたけど、するどい勘だね。てか野生なの?
例えば、(1)は以下のような別解があるよ。

【別解①】
1ケタ・2ケタをまとめて考えても解くことが出来る。十の位は0~9の10通り、一の位は0~9の内、十の位で選んだ数字以外の9通り。よって、10×9=90番目

【別解②】
1~99は、99個。
この99個の中で同じ数字を使う整数は11,22,・・・,88,99の9個なので、99-9=90番目

ピヨまる

なるほど。別解①は先頭の十の位に0が入っていますが、良いんですか

プロ家庭教師K

十の位に0を入れないと、一番小さい整数が10となってしまい、1~9の1ケタの整数が表せない。
別解は1ケタ・2ケタをまとめて考えているので、十の位を0、一の位を5にした場合は、05となり、それは5を表していることになるよ。

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