22、262のように２を２回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて何番目の数ですか。
豊島岡女子学園中学（2020年）
女子最難関校の１つの豊島岡女子学園中学より「場合の数」の出題です。豊島岡女子学園において、場合の数は頻出単元ですので、志望者は要チェックです。
本問題の難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。
解説
ケタ数で場合分けする方法
２を２回使用するという条件を守った上で、ケタごとに場合分けして考えてみましょう。
２桁の場合
２桁の場合は「２２」のみの１個です。
３桁の場合
３桁の場合は、２２□、２□２、□２２の３パターンが考えられます。
２は２回しか使うことは出来ませんので、□に２を入れることは出来ません。□に入れることの出来る数は０～９の内の２以外の数ですので、２２□、２□２はいずれも９通りとなります。また、今回は３桁の場合としているので、□２２の□には０を入れることは出来ません。よって、□２２は９－１の８通り。
３桁の場合は９＋９＋８＝26個です。
４桁の場合
千の位の数が１の場合
４桁の場合は、まず千の位の数が１の時は何通りあるのかを考えます。
千の位の数が１の時も３桁と同様に考え、１２２□、１２□２、１□２２の３パターンを考えていきます。
３桁の場合は千の位の数が０だったとも考えることが出来ますので、１２２□と１２□２は、３桁の時の２２□と２□２と考え方は何も変わりありません。０～９の内の２以外の数を使って、９通り×２＝18通り。
ただし、１□２２は千の位が１になったことで□に０を入れることが出来るようになったので、注意です。８通りではなく９通りになります。
よって、千の位の数が１の時は９×３＝27個。
千の位の数が２の場合
千の位の数が２の時は、2000～2020まで数えてしまった方が早いでしょう。「2002、2012、2020」で、３個になります。
プロ家庭教師Kようやく、全ての通り数が出そろったね。
以上の事から、２を２回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて、１＋26＋27＋３＝57番目と分かります。
（別解）2000未満と2000以上で場合分けする場合
プロ家庭教師K別解も載せておきます。ケタ数で場合分けをするのではなく、先頭に０を入れても良いカード並べの問題として、まとめて考えます。２が２つから成るパターンを出してから、Ａ・Ｂに入る数を考えて、個数を求めます。
2000以降は2020までと途中でストップしているので、2000未満と2000以上の整数に場合分けして考えます。
ＡＢ２２，Ａ２Ｂ２，Ａ２２Ｂは、千の位の数Ａに入るのはいずれも０か１の２通り、Ｂに入る数は０～９の内、２を除いた９つなので、３パターンそれぞれ２×９＝18通りとなります。（ＡＢ２２でＡもＢも０である場合は、００２２となり、２２の事を表しています。）
また、2000～2020は前の解法の通りそのまま数え上げて、2002、2012、2020の３つですので、2020は18×３＋３＝57番目です。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまるこの豊島岡女子学園の問題は2020年度入試ですよね。
２を２回だけ使用する点や、2020が何番目であるかを聞かれている点は偶然なのでしょうか？それとも何か関係があるのでしょうか？
プロ家庭教師Kうん、関係しているだろうね。
中学入試の算数では受験する年度の西暦を使用した問題が散見される。学校によって好みがあるので、過去問では「自分の受験する学校は西暦がよく使われる学校なのか？」はチェックしておくといいね。
算数の時事問題の１つだけど、ただの数値替え問題なので対策は６年秋以降でOKだよ。
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