場合の数

場合の数(豊島岡女子学園中学 2020年)

豊島岡女子学園中学(2020年)

22、262のように2を2回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて何番目の数ですか。

女子最難関校の1つの豊島岡女子学園中学より「場合の数」の出題です。入試年度でもある「2020」に着目し、「2を2回だけ使用した数」「2020は何番目」という問題になっています。解法には特に関係ありませんが、算数の時事問題の1つとも言えるでしょう。
場合の数は頻出単元ですので、豊島岡を志望する子は要チェックです。

解説

2を2回使用するというのが必須条件となっていますので、桁ごとに場合分けして考えていきましょう。

2桁の場合

2桁の場合は「22」のみの1通りです。

3桁の場合

3桁の場合は、22□、2□2、□22の3パターンが考えられます。

22□は、□に0~9の内2以外を入れることが出来るので、9通り。同様に、2□2も9通りとなります。(:2は2回しか使うことは出来ない
□22は、先頭に0を入れることは出来ないので、9-1の8通りとなります。

よって、3桁の場合は9+9+8=26通り

4桁の場合

4桁の場合は、まず千の位が1の時は何通りあるのかを考えます。

千の位が1の時も基本的には3桁と同様に考え、122□、12□2、1□22の3パターンを考えていきます。

122□は3桁の場合の22□と、12□2は3桁の場合の2□2と何も変わりありませんので、9通り×2=18通り。
ただし、1□22は千の位が1になったことで先頭に0を入れることが出来るようになったので、8通りではなく9通りになります。

よって、千の位が1の時は9×3=27通り

千の位が2の時は、小さい方から数えてしまった方が早いですね。
2002、2012、2020 で、3通りになります。これで出揃いました。

以上の事から、2を2回だけ用いて表される数のうち、2020は小さい方から数えて、「1+26+27+3=57番目と分かります。

A.57番目

3桁の場合は「千の位が0」とも考えられるので、4桁で「千の位が1」となっている通り数を考える時は、3桁の通り数を基準にして考えよう