数の性質

数の性質/何回割り切れる?(芝中学 2018年)

次の問いの□をうめなさい。

(1) 18から30までのすべての整数をかけると、一の位から0が続いて□個並ぶ。

(2) 2006から2018までのすべての整数をかけると4で□回割り切れる。

芝中学(2018年)

男子難関校の芝中学より数の性質の問題です。
塾のテキストに載っている「何回割り切れる問題」とは一味違うかもしれません。そんな本問題にどう立ち向かうか方針を立てて解き進めてください

解説

(1) 0が何個続くか

本サイトの過去問解説コーナーでも何度も登場している「何回割り切れる?問題」。

一の位に0が何個続くかは、×5の個数を数えるというのがポイントです。
ただし、この考え方は「1から連続した整数の積である場合」という前提があります。今回は1からではなく、18から30までの整数の積なので「おっと、×5の方が本当に少ないんだよな」と確認する癖をつけておくようにしてください。(今回の問題は確認せずとも答えに影響はありませんが、問題によっては×2の数の方が少なくなる場合もあります。)

×5が入っている可能性があるのは5の倍数 20、25、30の3つ。20=4×5、25=5×5、30=5×6ですので、×5の数は4個です。

念のため、×2の数を考えてみますと、18~30までに偶数は7つあるので、×2は少なくとも7個あります。よって、×5の数の方が少ないので、一の位から0は4個続いていることが分かります。

A.4

(2) 4で何回割り切れるか

4は2×2ですので、4で1回割り切れる→割られる数に2×2がいる(×2が2個いる)ということです。
よって、4で何回割り切れるは、×2が何個いるかを数えることがポイントです。

今回も(1)と同様、1からの連続した整数の積ではなく、2006から2018までの整数の積です。まず、やってはいけないことは、オラオラオラーと2006=2×17×59、2007=3×3×223、…、2018=2×1009というように、2006から2018まですべての整数を素因数分解して×2の個数を数えようとすること。ガッツは認めるが、試験中にそんな時間はねえ。

×2が何個いるかなので、2007など奇数は考えなくていいですね。考えるべきなのは、2006、2008、2010、2012、2014、2016、2018の偶数7つです。

では、偶数7つを全て素因数分解すればいいかというと、それもナンセンス
初めは掛ける整数が偶数か奇数かを考えましたが、次は2×整数の形にしたときに、整数の部分が偶数か奇数かいずれになるかを考えましょう。

例えば、2006は2×1003で2×奇数の形ですので、×2は1個であることが分かります。同様に、2010、2014、2018も×2は1個です。

残りの2008、2012、2016は倍数判定法を使って考えると、2008、2016は8の倍数、2012は4の倍数であることが分かります。2008は8×251なので、×2は3個で終了。2016は8×252で、252が偶数なのでまだ出来ますね。8×252=16×126=32×63で、63が奇数になったので、×2は5個であることが分かります。

よって、×2の個数は、
2006 1個
2008 3個
2010 1個
2012 2個
2014 1個
2016 5個
2018 1個 より×2は14個

ピヨまる
ピヨまる
ふぅ~。答えは14です。
K
K
いや、ちゃうちゃうちゃう
求めるものは4で何回割り切れるかなので、最後に÷2をしないとダメ。×2が2個そろって初めて4で1回割り切れるんだよ。

よって、14÷2=7回

A.7

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる
ピヨまる
確かに塾のテキストに載っている問題とは一味違いました。中々やりますね。
1つ質問していいですか塾では、一の位から0が何個続くかという問題は×5を数えると習ったのですが、それではダメなんでしょうか
K
K
そうだね。(1)の解説で書いたとおり、1から連続した整数の積であれば×5を数えるでもOK。
ただ、その前提がなかったら「×5の個数=一の位から続く0の個数」とならないことはたくさんある。例えば、5×10×15×20×25は計算してみると375000で、一の位から0が3個続いているけど、×5は6個あるよね。でも×2が3個しかないから0が3個までしか続かないんだ。
ピヨまる
ピヨまる
なるほど。(1)も間違えちゃったので参考になりました
K
K
間違えてたんかい一味違うぜと偉そうに言ってたから合ってたんだと思ったよ。
(1)が間違えていたなら、下の問題も解いて、基本を理解しているか確かめておこう。
過去問解説-共立女子2010-
数の性質 / 何回割り切れる?(共立女子中学 2010年)共立女子中学2010年度入試で出題された、数の性質(何回割り切れる?)の解説記事です。共立女子中学を志望している方は是非ご覧ください。その他にも中学受験算数の過去問解説記事を多数掲載しております。...

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