次の問いの□をうめなさい。
(１) 18から30までのすべての整数をかけると、一の位から０が続いて□個並ぶ。
(２) 2006から2018までのすべての整数をかけると４で□回割り切れる。
芝中学（2018年）
男子難関校の芝中学より数の性質の問題です。
塾のテキストに載っている「何回割り切れる問題」に比べて、設定が複雑な本問題にどう立ち向かうか？方針を立てて解き進めてみてください！
過去問解説記事の使い方は以下をご参照ください。
難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。
解説
(１) ０が何個続くか？
本サイトの過去問解説コーナーでも何度も登場している「何回割り切れる？問題」。
一の位に０が何個続くか？は、×５の個数を数えるというのがポイントです。
ただし、この考え方は「１から連続した整数の積である場合」という前提があります。今回は１からではなく、18から30までの整数の積なので「おっと、×５の方が本当に少ないんだよな？」と確認する癖をつけておくようにしてください。
プロ家庭教師K今回の問題は確認せずとも答えに影響はありませんが、問題によっては、×２の数の方が少なくなる場合があります。気を付けろ！
×５が入っている可能性があるのは５の倍数である20、25、30の３つ。20＝４×５、25＝５×５、30＝５×６ですので、×５の数は４個です。
念のため、×２の数も考えてみると、18～30までに偶数は７つあるので、×２は少なくとも７個あります。よって、×５の数の方が少ないので、一の位から０は４個続いていることが分かります。
(２) ４で何回割り切れるか？
４は２×２ですので、「４で１回割り切れる」→「割られる数に２×２がいる(×２が２個いる)」ということです。
よって、４で何回割り切れる？は、×２が何個いるかを数えることがポイントです。
今回も(１)と同様、１からの連続した整数の積ではなく、2006から2018までの整数の積です。まず、やってはいけないことは、オラオラオラー！と2006＝２×17×59、2007＝３×３×223、…、2018＝２×1009というように、2006から2018まですべての整数を素因数分解して×２の個数を数えようとすること。
プロ家庭教師Kガッツは認めるが、試験中にそんな時間はねえ。
×２が何個いるか？なので、2007など奇数は考えなくていいですね。考えるべきなのは、2006、2008、2010、2012、2014、2016、2018の偶数７つです。
では、偶数７つを全て素因数分解すればいいか？というと、それもナンセンス。
はじめは掛ける整数が偶数か奇数かを考えましたが、次は２×整数の形にしたときに、整数の部分が偶数か奇数かいずれになるかを考えましょう。
例えば、2006は２×1003で２×奇数の形になるので、×２は１個であることが分かります。同様に、2010、2014、2018も×２は１個です。２×偶数の形に出来る残りの整数2008、2012、2016は倍数判定法を使って考えると、2008、2016は８の倍数、2012は４の倍数であることが分かります。
2008は８×251なので×２は３個
2012は４の倍数であり８の倍数ではないので、×２は２個
2016は８×252で、252が偶数なのでまだ出来ますね。８×252＝16×126＝32×63で、63が奇数になったので、×２は５個であることが分かります。
よって、×２の個数は、
2006 １個
2008 ３個
2010 １個
2012 ２個
2014 １個
2016 ５個
2018 １個 より×２は14個
ピヨまるふぅ～。答えは14ですね。
プロ家庭教師Kいや、ちゃうちゃうちゃう！
求めるものは４で何回割り切れるか？なので、最後に÷２をしないとダメ。×２が２個そろって初めて４で１回割り切れるんだよ。
よって、14÷２＝７回
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる確かに塾のテキストに載っている問題とは一味違いました。中々やりますね。芝中学。覚えておきましょう。
１つ質問していいですか？塾では、一の位から０が何個続くかという問題は×５を数えると習ったのですが、それではダメなんでしょうか？
プロ家庭教師Kそうだね。(１)の解説で書いたとおり、１から連続した整数の積であれば×５を数えるでOK。
ただ、その前提がなかったら「×５の個数＝一の位から続く０の個数」とならないことはたくさんあるよ。例えば、５×10×15×20×25は計算してみると375000で、一の位から０が３個続くけど、×５は６個あるよね。でも×２が３個しかないから０が３個までしか続かないんだ。
ピヨまるなるほど。(１)も間違えちゃったので参考になりました！エヘヘ。
プロ家庭教師K間違えてたんかい！一味違うぜと偉そうに言ってたから合ってたんだと思ったよ。(１)が間違えていたなら、下の問題も解いて、基本を理解しているか確かめておこう。
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