ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。
１,２,２,３,３,３,４,４,４,４,５,５,５,５,５,６,……
このとき、次の各問いに答えなさい。（１）１番目の数から100番目の数までの積は13で何回割り切れますか。
（２）１番目の数から100番目の数までの積は７で何回割り切れますか。
（３）１番目の数から100番目の数までの積は２で何回割り切れますか。巣鴨中学（2010年）
約数・倍数を習う際に必ず取り扱われる「何回割り切れる？問題」より、巣鴨中学 2018年の問題の紹介です。よく見掛ける「１×２×３×……×100までの積」の形ではなく、割られる数をひねってきていますね。
以前、ご紹介した共立女子中学の「何回割り切れる？問題」が塾の演習問題でよく見掛ける形ですので、そちらから読んでいただけると理解が深まるかと思います。是非トライしてみてください♪
解説
（１）この数は、13で何回割り切れますか。
13で何回割り切れるか？なので、×13の個数を数えます。
１,２,２,３,３,３,…と１から12まで並べると、その並んだ数の個数は、（１＋12）×12÷２＝78個。100番になるまで残り22個並べる余裕がありますので、13は13個並べることができます。
よって、×13は13個あるので、13で13回割り切れます。
A.13回
（２）この数は、７で何回割り切れますか。
７で何回割り切れるか？なので、×７の個数を数えます。
×７は７だけではなく、14や21など７の倍数にも含まれているので注意しましょう。
（１）より１から13まで並べたときは78＋13より91個の数が並びます。100番までには14を９個並べることができます。14は素因数分解すると２×７であり、×７が９個います。
また、14の×７以外にも100番までに既に７が７個並んでいるので、×７も７個あります。よって、×７は「７の７個＋14の９個」で計16個ありますので、７で16回割り切れます。
A.16回
（３）この数は、２で何回割り切れますか。
２で何回割り切れる？なので、×２の個数を数えます。
２の倍数には×２が１個、４の倍数には×２が２個、８の倍数には×３がいます。また、（２）より100番目までには１～14までの数が並んでいることが分かっています。
各偶数の中に×２が何個含まれているか？とそれぞれの数が何個並んでいるか？を考えると以下のようになります。
例えば、下から２つ目の12は、２×２×３＝12より×２を２個含んでおり、12は数列上に12個並んでいます。よって、×２は２×12＝24個あります。
２（×２が１個）→１×２＝２個
４（×２が２個）→２×４＝８個
６（×２が１個）→１×６＝６個
８（×２が３個）→３×８＝24個
10（×２が１個）→１×10＝10個
12（×２が２個）→２×12＝24個
14（×２が１個）→１×９＝９個
※14は14個ではなく９個であることに注意
上記より２＋８＋６＋24＋10＋24＋９＝83個の×２があります。
よって、２で83回割り切れます。
A.83回
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