ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。
１,２,２,３,３,３,４,４,４,４,５,５,５,５,５,６,……
このとき、次の各問いに答えなさい。（１）１番目の数から100番目の数までの積は13で何回割り切れますか。
巣鴨中学（2010年）
（２）１番目の数から100番目の数までの積は７で何回割り切れますか。
（３）１番目の数から100番目の数までの積は２で何回割り切れますか。
約数・倍数を習う際に必ず取り扱われる「何回割り切れる？問題」より、巣鴨中学 2018年の問題の紹介です。
難度
Lv.３ 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を１問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
※偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。
解説
（１）この数は、13で何回割り切れますか。
13で何回割り切れるか？なので、×13の個数を数えます。
１,２,２,３,３,３,…と13と関係のない１から12までを並べると、並んだ数の個数は、（１＋12）×12÷２＝78個。100番目の数までは残り22個の数を並べる余裕がありますので、13は13個並べることができます。
よって、×13は13個あるので、13で13回割り切れます。
（２）この数は、７で何回割り切れますか。
７で何回割り切れるか？なので、×７の個数を数えます。
×７は７だけではなく、14や21など７の倍数にも含まれているので注意しましょう。
（１）より１から13まで並べたときは78＋13より91個の数が並びます。よって、100番までには14を９個並べることができます。14は素因数分解すると２×７なので、×７が９個います。
また、14の×７以外にも100番までに既に７が７個並んでいるので、×７は７個あります。よって、×７は「７の７個＋14の９個」で計16個ありますので、７で16回割り切れます。
（３）この数は、２で何回割り切れますか。
２で何回割り切れる？なので、×２の個数を数えます。
２の倍数には×２が１個、４の倍数には×２が２個、８の倍数には×２が３個います。また、（２）より100番目までには１～14までの数が並んでいることが分かっています。
各偶数の中に×２が何個含まれているか？とそれぞれの数が何個並んでいるか？を考えると以下のようになります。
例えば、12は、２×２×３＝12より×２を２個含んでおり、12は数列上に12個並んでいます。よって、×２は２×12＝24個あります。
２（×２が１個）→１×２＝２個
４（×２が２個）→２×４＝８個
６（×２が１個）→１×６＝６個
８（×２が３個）→３×８＝24個
10（×２が１個）→１×10＝10個
12（×２が２個）→２×12＝24個
14（×２が１個）→１×９＝９個
※14は14個ではなく９個であることに注意
上記より２＋８＋６＋24＋10＋24＋９＝83個の×２があります。
よって、２で83回割り切れます。
Kとピヨまるの談話室
ピヨまる何回割り切れる問題でよく見掛ける「１×２×３×……×100までの積」など１から連続する整数の積ではなく、割られる数をひねってきていますね。
プロ家庭教師K単に解き方だけ覚えている子は面食らうかもね。ただ、解法のポイントは当然変わらないので何らビビる必要なし。
解けなかった受験生は以下の共立女子中学の問題がスラスラ解けるか確認しておこう。
ピヨまる解けたけど、完全無欠のニワトリになるため、上の問題も爆速で解けるか確認します！
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