ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,……
このとき、次の各問いに答えなさい。(1)1番目の数から100番目の数までの積は13で何回割り切れますか。
(2)1番目の数から100番目の数までの積は7で何回割り切れますか。
(3)1番目の数から100番目の数までの積は2で何回割り切れますか。巣鴨中学(2010年)
約数・倍数を習う際に必ず取り扱われる「何回割り切れる?問題」より、巣鴨中学 2018年の問題の紹介です。よく見掛ける「1×2×3×……×100までの積」の形ではなく、割られる数をひねってきていますね。
以前、ご紹介した共立女子中学の「何回割り切れる?問題」が塾の演習問題でよく見掛ける形ですので、そちらから読んでいただけると理解が深まるかと思います。是非トライしてみてください♪

解説
(1)この数は、13で何回割り切れますか。
13で何回割り切れるか?なので、×13の個数を数えます。
1,2,2,3,3,3,…と1から12まで並べると、その並んだ数の個数は、(1+12)×12÷2=78個。100番になるまで残り22個並べる余裕がありますので、13は13個並べることができます。
よって、×13は13個あるので、13で13回割り切れます。
A.13回
(2)この数は、7で何回割り切れますか。
7で何回割り切れるか?なので、×7の個数を数えます。
×7は7だけではなく、14や21など7の倍数にも含まれているので注意しましょう。
(1)より1から13まで並べたときは78+13より91個の数が並びます。100番までには14を9個並べることができます。14は素因数分解すると2×7であり、×7が9個います。
また、14の×7以外にも100番までに既に7が7個並んでいるので、×7も7個あります。よって、×7は「7の7個+14の9個」で計16個ありますので、7で16回割り切れます。
A.16回
(3)この数は、2で何回割り切れますか。
2で何回割り切れる?なので、×2の個数を数えます。
2の倍数には×2が1個、4の倍数には×2が2個、8の倍数には×3がいます。また、(2)より100番目までには1~14までの数が並んでいることが分かっています。
各偶数の中に×2が何個含まれているか?とそれぞれの数が何個並んでいるか?を考えると以下のようになります。
例えば、下から2つ目の12は、2×2×3=12より×2を2個含んでおり、12は数列上に12個並んでいます。よって、×2は2×12=24個あります。
2(×2が1個)→1×2=2個
4(×2が2個)→2×4=8個
6(×2が1個)→1×6=6個
8(×2が3個)→3×8=24個
10(×2が1個)→1×10=10個
12(×2が2個)→2×12=24個
14(×2が1個)→1×9=9個
※14は14個ではなく9個であることに注意
上記より2+8+6+24+10+24+9=83個の×2があります。
よって、2で83回割り切れます。
A.83回
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