数の性質|何回割り切れる?(巣鴨中学 2018年)

ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,……
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)1番目の数から100番目の数までの積は13で何回割り切れますか。
(2)1番目の数から100番目の数までの積は7で何回割り切れますか。
(3)1番目の数から100番目の数までの積は2で何回割り切れますか。

巣鴨中学(2010年)

約数・倍数を習う際に必ず取り扱われる「何回割り切れる問題」より、巣鴨中学 2018年の問題の紹介です。

難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

Lv.3 中学受験 難関校標準問題
中学受験 難関校の標準問題。難関校合格のために必要な標準問題を確実に正答する力をつけたい受験生や、合否を分ける問題を1問でも多く正答できるように得点力をアップさせたい中堅校志望の受験生にオススメ。
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解説

(1)この数は、13で何回割り切れますか。

13で何回割り切れるかなので、×13の個数を数えます

1,2,2,3,3,3,…と13と関係のない1から12までを並べると、並んだ数の個数は、(1+12)×12÷2=78個。100番目の数までは残り22個の数を並べる余裕がありますので、13は13個並べることができます。

よって、×13は13個あるので、13で13回割り切れます。

A.13回

(2)この数は、7で何回割り切れますか。

7で何回割り切れるかなので、×7の個数を数えます
×7は7だけではなく、14や21など7の倍数にも含まれているので注意しましょう。

(1)より1から13まで並べたときは78+13より91個の数が並びます。よって、100番までには14を9個並べることができます。14は素因数分解すると2×7なので、×7が9個います。

また、14の×7以外にも100番までに既に7が7個並んでいるので、×7は7個あります。よって、×7は「7の7個+14の9個」で計16個ありますので、7で16回割り切れます。

A.16回

(3)この数は、2で何回割り切れますか。

2で何回割り切れるなので、×2の個数を数えます
2の倍数には×2が1個、4の倍数には×2が2個、8の倍数には×2が3個います。また、(2)より100番目までには1~14までの数が並んでいることが分かっています。

各偶数の中に×2が何個含まれているかそれぞれの数が何個並んでいるかを考えると以下のようになります。
例えば、12は、2×2×3=12より×2を2個含んでおり、12は数列上に12個並んでいます。よって、×2は2×12=24個あります。

2(×2が1個)→1×2=2個
4(×2が2個)→2×4=8個
6(×2が1個)→1×6=6個
8(×2が3個)→3×8=24個
10(×2が1個)→1×10=10個
12(×2が2個)→2×12=24個
14(×2が1個)→1×=9個
※14は14個ではなく9個であることに注意

上記より2+8+6+24+10+24+9=83個の×2があります。
よって、2で83回割り切れます。

A.83回

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

何回割り切れる問題でよく見掛ける「1×2×3×……×100までの積」など1から連続する整数の積ではなく、割られる数をひねってきていますね

プロ家庭教師K

単に解き方だけ覚えている子は面食らうかもね。ただ、解法のポイントは当然変わらないので何らビビる必要なし
解けなかった受験生は以下の共立女子中学の問題がスラスラ解けるか確認しておこう。

ピヨまる

解けたけど、完全無欠のニワトリになるため、上の問題も爆速で解けるか確認します

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