数の性質

数の性質 / 何回割り切れる?(巣鴨中学 2018年)

巣鴨中学(2010年)

ある規則にしたがって、次のように数が並んでいます。
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,……
このとき、次の各問いに答えなさい。

(1)1番目の数から100番目の数までの積は13で何回割り切れますか。
(2)1番目の数から100番目の数までの積は7で何回割り切れますか。
(3)1番目の数から100番目の数までの積は2で何回割り切れますか。

約数・倍数を習う際に必ず取り扱われる「何回割り切れる問題」より、巣鴨中学 2018年の問題の紹介です。よく見掛ける「1×2×3×……×100までの積」の形ではなく、割られる数をひねってきていますね。

以前、ご紹介した共立女子中学の「何回割り切れる問題」が塾の演習問題でよく見掛ける形ですので、そちらから読んでいただけると理解が深まるかと思います。是非トライしてみてください

過去問解説-共立女子2010-
数の性質 / 何回割り切れる?(共立女子中学 2010年)共立女子中学2010年度入試で出題された、数の性質(何回割り切れる?)の解説記事です。共立女子中学を志望している方は是非ご覧ください。その他にも中学受験算数の過去問解説記事を多数掲載しております。...

解説

(1)この数は、13で何回割り切れますか。

13で何回割り切れるかなので、×13の個数を数えます

1,2,2,3,3,3,…と1から12まで並べると、その並んだ数の個数は、(1+12)×12÷2=78個。100番になるまで残り22個並べる余裕がありますので、13は13個並べることができます。

よって、×13は13個あるので、13で13回割り切れます。

A.13回

(2)この数は、7で何回割り切れますか。

7で何回割り切れるかなので、×7の個数を数えます
×7は7だけではなく、14や21など7の倍数にも含まれているので注意しましょう。

(1)より1から13まで並べたときは78+13より91個の数が並びます。100番までには14を9個並べることができます。14は素因数分解すると2×7であり、×7が9個います。

また、14の×7以外にも100番までに既に7が7個並んでいるので、×7も7個あります。よって、×7は「7の7個+14の9個」で計16個ありますので、7で16回割り切れます。

A.16回

(3)この数は、2で何回割り切れますか。

2で何回割り切れるなので、×2の個数を数えます
2の倍数には×2が1個、4の倍数には×2が2個、8の倍数には×3がいます。また、(2)より100番目までには1~14までの数が並んでいることが分かっています。

各偶数の中に×2が何個含まれているかそれぞれの数が何個並んでいるかを考えると以下のようになります。
例えば、下から2つ目の12は、2×2×3=12より×2を2個含んでおり、12は数列上に12個並んでいます。よって、×2は2×12=24個あります。

2(×2が1個)→1×2=2個
4(×2が2個)→2×4=8個
6(×2が1個)→1×6=6個
8(×2が3個)→3×8=24個
10(×2が1個)→1×10=10個
12(×2が2個)→2×12=24個
14(×2が1個)→1×=9個
※14は14個ではなく9個であることに注意

上記より2+8+6+24+10+24+9=83個の×2があります。
よって、2で83回割り切れます。

A.83回