規則性|数列(吉祥女子中学 2020年)

過去問解説-吉祥女子中学_2020年1-4_規則性(数列)

8で割って5余る整数が5,13,21,29,37,……のように小さい順にならべられています。ある隣り合う2つの数を足したところ、和は594でした。小さい方の整数は、前から数えて何番目ですか。

吉祥女子中学(2020年)

人気女子校の吉祥女子中学より「規則性(数列)」の問題です。和差算も組み合わさっており、それぞれの基本的なポイントが備わっているか確認できますね。過去問解説記事の使い方を読んだ上で、算数の志望校対策や、得点力アップ、弱点補強にご活用ください。

本問題の難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

Lv.1 中学受験 基本問題
各単元の基本問題。1から基本ポイントの確認や弱点補強をしたい受験生や、5~6年生の通常カリキュラムの復習にオススメです。4年生も既習単元の問題は積極的にチャレンジしてみてください。
偏差値の目安やその他難度の詳細などはコチラをご覧ください。

解説

等差数列のポイント

5,13,21,29,37,……という数列です。8で割ると5余る整数と冒頭に書かれていますが、5で始まり、公差8の等差数列になっていますね。最終的には「小さい方の整数が前から数えて何番目か」を聞かれていますが、まずは「隣り合う2つの数の和が594となる整数の組み合わせは何か」を考えてみましょう。

  • 和は594
  • 差は8

という条件ですので、大きい方と小さい方の整数が分かりますね。大きい方の整数は(594+8)÷2=301、小さい方の整数は(594-8)÷2=293(あるいは301-8=293)と求めることが出来ます。

プロ家庭教師K

線分図を描いて求めても良いが、5・6年生は上の通りに式一発で出せる訓練をしておきましょう。
ポイントは以下の通りです。初見の子は「なぜ下の式でそれぞれの整数を求めることが出来るのだろうという点も考えてみましょう。

ポイント

2つの整数の和と差が分かっているときは、2つの整数は以下の通りに求めることができる。

  • 大きい方の整数:(和+差)÷2
  • 小さい方の整数:(和-差)÷2

では、小さい方の整数が293であることが分かったので、前から何番目かを考えましょう。今回の等差数列ははじめの数が5、公差が8でしたから、N番目の数は5+8×(N-1)と表すことが出来ます。

つまり、5+8×(N-1)=293ですので、8×(N-1)=288、N-1は288÷8=36となるのでNは37となり、小さい方の整数は前から数えて37番目であることが分かります。

A.37番目

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

ふむふむ。先生は和と差に着目して小さい方の整数がいくつかを出してから、その整数が前から何番目かを求めたわけですね。
僕は、5,13,21,29,37,…の数列の隣り合う2つの数の和に着目しました。すると、隣り合う2つの数の和は18,34,50,66,…というように、はじめが18で公差が16の等差数列になりますよねこれを利用して解いたのですがどうでしょう

プロ家庭教師K

その解き方でも良いと思うよ。
594-18=576
576÷16=36 なので、
576は18,34,50,…の数列の37番目であることが分かるね。

18は1番目と2番目の整数の和、34は2番目と3番目の整数の和なので、576は37番目と38番目の整数の和。よって、37番目と答えを出すことが出来る。

ピヨまる

そうです、そうです。
解説の解き方も理解しましたし、本日も僕はレベルアップしました。本当に自分の成長スピードが怖ろしいです。

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