数の性質|約数(武蔵中学 2022年)

次の㋐,㋑にあてはまる数を書き入れなさい。

1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数のうち,最も小さいものは㋐です。㋐の約数のうち,最も大きい奇数は㋑です。

武蔵中学(2022年)

男子御三家の武蔵中学より「数の性質」の問題です。約数や倍数の考え方をきちんと理解しているかを問われていますね。 過去問解説記事の使い方を読んだ上で、算数の志望校対策や、得点力アップ、弱点補強にご活用ください。

本問題の難度

問題の難易度
易しい
Lv.1
Lv.2
Lv.3
Lv.4
Lv.5
難しい

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解説

㋐1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数は

例えば、3で割り切れる整数とはどんな数だろうか?

3,6,9,12,…など3×1,3×2,3×3,3×4,…というように3×整数の形にできるもの、つまり、分解して×3がある整数は3で割り切れる。

プロ家庭教師K

同様に考えると、以下のようにまとめられるね。

1で割り切れる→×1が1個ある整数
2で割り切れる→×2が1個ある整数
3で割り切れる→×3が1個ある整数
4で割り切れる→×2が2個ある整数
5で割り切れる→×5が1個ある整数
6で割り切れる→×2と×3が1個ずつある整数
7で割り切れる→×7が1個ある整数
8で割り切れる→×2が3個ある整数
9で割り切れる→×3が2個ある整数

これらをすべて満たすためには、
×2は最低3個、×3は最低2個、×5は最低1個、×7は最低1個あればよい

よって、1から9までのどの整数で割っても割り切れる10以上の整数のうち,最も小さいものは、2×2×2×3×3×5×7=2520となる。

プロ家庭教師K

8で割り切れるのだから、2や4で割り切れるのは当たり前だし、9で割り切れるのだから、3で割り切れるのも当たり前だね。上の表は説明のために1~9まで書いているが、実際には絞り込めるので、5~9のみを考えればよい。
他にも5,6,7,8,9の最小公倍数を出すという解き方でも良いでしょう。色々な解き方があるよ。

A. 2520

㋑ 約数のうち、最も大きい奇数は

㋐の2520を素因数分解した結果は、2×2×2×3×3×5×7。

2を1個でも選んでしまうとその瞬間に約数は偶数となってしまうので、奇数のみ選ばなければならない。今回は、約数のうち、最も大きい奇数を聞かれているので、すべての奇数を選び、3×3×5×7=315が答えとなる。(2520÷8=315でも可)

A. 315

Kとピヨまるの談話室

ピヨまる

倍数やら場合の数では偶数・奇数をよく見ますが、約数でも偶数・奇数が出てくるんですね。約数の問題では、他にどんな偶数・奇数の問われ方があるんでしょうか

プロ家庭教師K

おっ、何か意欲的だねぇ
例えば「2520の約数のうち、奇数のものは何個ありますかという問題があるね。まずは、2520の約数の個数をサクッと求められるかが重要だよ。

ピヨまる

ありがとうございます。参考になります。
意欲的僕は根は真面目なのですよ。これが本来の僕ですので。
約数が出題範囲の次回のテストで満点を取れば、親にゲームを買ってもらう約束をしていることとは一切関係ございません。はい。

プロ家庭教師K

不純

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